袁新意，1981年出生于湖北省麻城市，1997-2000年就讀于湖北省黃岡中學(xué)。2000年代表中國(guó)參加在韓國(guó)舉辦的第41屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽獲金牌，同年保送北京大學(xué)。
翩翩燕歸來(lái) | 專(zhuān)訪(fǎng)袁新意教授
2020年1月，北大數(shù)學(xué)“黃金一代”成員之一的袁新意回到北大，任北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心教授。他是新生代數(shù)學(xué)家中第一位在美國(guó)頂尖高校獲得終身教職后回國(guó)的學(xué)者。他也是第一位獲美國(guó)克雷研究所研究獎(jiǎng)學(xué)金的華人。
袁新意于2003年本科畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，2008年獲得美國(guó)哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位。同年，他獲得著名的Clay Research Fellow，在美國(guó)克雷研究所做博士后，2011年至2012年在普林斯頓大學(xué)任助理教授，2012年起在美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校任助理教授，2018年7月起任副教授。袁新意的工作領(lǐng)域是數(shù)論和算術(shù)幾何，主要的工作方向有兩個(gè)：1. Arakelov幾何和代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng);2. 自守形式，志村簇與L函數(shù)。他在這兩個(gè)方向都有突破性的工作，被認(rèn)為是這兩個(gè)方向的國(guó)際領(lǐng)軍數(shù)學(xué)家。
袁新意老師2018年回北大訪(fǎng)問(wèn)期間攝于未名湖畔
一、來(lái)到數(shù)論“群山”腳下
多年以后，在初雪紛紛而落的北京，當(dāng)袁新意望著數(shù)學(xué)中心院內(nèi)的銀色世界時(shí)，也許會(huì)想起父親帶他去鎮(zhèn)上新華書(shū)店的那個(gè)遙遠(yuǎn)而火熱的夏天。那時(shí)他的數(shù)學(xué)世界里沒(méi)有Arakelov發(fā)明的精巧的相交理論，也沒(méi)有Gross和Zagier揭示橢圓曲線(xiàn)有理點(diǎn)信息的深刻公式，但簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算和初等方程已經(jīng)足夠俘獲一個(gè)懵懂少年的心。
和很多后來(lái)成長(zhǎng)為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的同輩一樣，那時(shí)的袁新意也渴望在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中證明自己的熱愛(ài)，但他對(duì)數(shù)學(xué)的熱切呼喚并沒(méi)有立刻得到回應(yīng)。在初一暑假那個(gè)火熱的夏天，因?yàn)槿狈ο到y(tǒng)訓(xùn)練而屢次在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中鎩羽而歸的袁新意終于下定決心，在鎮(zhèn)上的新華書(shū)店買(mǎi)了一本競(jìng)賽教材并開(kāi)始自學(xué)。艱苦的訓(xùn)練帶來(lái)了豐碩的回報(bào)。初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽滿(mǎn)分，高中一路入選國(guó)家隊(duì)并順利獲得國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌，然后順理成章地來(lái)到北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。
本科是一段奇妙的旅程，在這期間，袁新意收獲了新知，結(jié)識(shí)了好友，但也經(jīng)歷了迷茫和煎熬。新世紀(jì)前后，北大數(shù)學(xué)已經(jīng)開(kāi)啟了針對(duì)本科生的“加強(qiáng)版”培養(yǎng)模式，前沿報(bào)告、學(xué)生討論班、本科生科研等為同學(xué)們帶來(lái)了精妙的前所未聞的數(shù)學(xué)知識(shí)，也啟迪著他們的智慧，引導(dǎo)他們走上探索發(fā)現(xiàn)之路。這種“求知若渴”的高強(qiáng)度學(xué)習(xí)方式最終培養(yǎng)出為人稱(chēng)道的“黃金一代”，但對(duì)當(dāng)時(shí)的袁新意來(lái)說(shuō)，仰之彌高、鉆之彌堅(jiān)的歷代數(shù)學(xué)家的思想結(jié)晶讓他在欣賞的同時(shí)，也讓他對(duì)自己能否勝任數(shù)學(xué)工作心生膽怯。
值得慶幸的是，這些高維向量叢中紛繁復(fù)雜的思想截面沒(méi)有影響袁新意在“現(xiàn)實(shí)的底空間上”堅(jiān)定前行的腳步。這個(gè)從湖北鄉(xiāng)村走出來(lái)的陽(yáng)光少年，憑借他個(gè)性中的執(zhí)著和闖蕩精神，熬過(guò)了困惑和GRE，抱著“至少看看別人是怎么做數(shù)學(xué)的”簡(jiǎn)單想法，三年本科畢業(yè)的袁新意遠(yuǎn)渡重洋，來(lái)到美國(guó)哥倫比亞大學(xué)，跟隨張壽武老師學(xué)習(xí)數(shù)論。
“畢竟一個(gè)人的一生很長(zhǎng)，用最年富力強(qiáng)的時(shí)光嘗試實(shí)現(xiàn)自己的追求，并沒(méi)有人們想象的那么奢侈。”袁新意用這句話(huà)來(lái)為自己的彷徨時(shí)代作注解。
在哥大，師長(zhǎng)和同學(xué)的幫助、身邊環(huán)境的熏陶給了他很大的觸動(dòng)，他意識(shí)到這就是自己想要的生活，而且相信自己完全有能力成為他們這樣的人。安下心來(lái)的他，終于來(lái)到了數(shù)論群山的山腳下，開(kāi)始攀登了。
二、“我可以嗎?”可以!
純粹數(shù)學(xué)之路是一條不平凡的路，在越過(guò)那個(gè)“點(diǎn)”，真正獨(dú)立地作出一個(gè)令同行承認(rèn)的成果之前，每個(gè)走在這條路上的年輕人對(duì)自己選擇的這條路未免心存疑惑，袁新意也不例外。從本科時(shí)代起就有一個(gè)藏在他心底的疑問(wèn)：我能在數(shù)學(xué)上做到滿(mǎn)意嗎?
袁新意老師2013年回國(guó)探親期間攝于湖北麻城
學(xué)生時(shí)代的第一個(gè)研究問(wèn)題往往對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)家意義重大。在張壽武老師的指導(dǎo)下，博士期間的袁新意首先關(guān)注的是Arakelov幾何的相關(guān)問(wèn)題，這個(gè)理論在70年代由Arakelov提出，最早的目的是為了求解丟番圖方程。它將抽象的代數(shù)幾何和復(fù)微分幾何聯(lián)系起來(lái)：微分幾何里的曲率的積分在某種意義下可以被理解為相交數(shù)，自然可以和代數(shù)幾何里面的相交數(shù)建立起聯(lián)系。具體到求解丟番圖方程上，一般我們考慮丟番圖方程是考慮它的有理數(shù)解或整數(shù)解，但也可以在例如p進(jìn)數(shù)、實(shí)數(shù)乃至復(fù)數(shù)集上觀察它的結(jié)構(gòu)。Arakelov幾何就是把這些p進(jìn)的性質(zhì)和實(shí)數(shù)的乃至復(fù)數(shù)的性質(zhì)拼接起來(lái)。后來(lái)Faltings集其中諸多思想之大成，最終證明了Mordell猜想，這使得Arakelov幾何引起了廣泛關(guān)注。再后來(lái)Gillet和Soule完整地建立了任意維數(shù)的Arakelov幾何的理論，還以此工具證明了算術(shù)Riemann-Roch定理，成功地將微分幾何中的Atiyah-Singer指標(biāo)定理和代數(shù)幾何中的Grothendieck-Riemann-Roch定理聯(lián)系起來(lái)。
袁新意最初考慮的問(wèn)題是將Arakelov幾何應(yīng)用到代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)中，得到一個(gè)等分布的結(jié)果。這個(gè)問(wèn)題是把蕭蔭堂的一個(gè)代數(shù)幾何的結(jié)果推廣到Arakelov幾何中，這個(gè)結(jié)果在代數(shù)幾何里是比較容易的，而他要做的是這個(gè)結(jié)果在Arakelov幾何里的復(fù)雜得多的算術(shù)版本。在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，他慢慢地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)復(fù)微分幾何的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題很湊巧是田剛利用L^2估計(jì)方法完成的一個(gè)早期工作的推廣，但是L^2估計(jì)對(duì)不熟悉微分幾何的他來(lái)說(shuō)是難以逾越的障礙。
在經(jīng)過(guò)大概半年的苦苦求索后，重要的一天出其不意地降臨了。那一天，在又一次漫長(zhǎng)而無(wú)果的探索過(guò)后，他向張壽武尋求建議。張壽武建議他去問(wèn)復(fù)幾何領(lǐng)域的專(zhuān)家蕭蔭堂這一步如何實(shí)現(xiàn)，因?yàn)榕銮墒捠a堂第二天要去哥倫比亞大學(xué)作報(bào)告。為了向?qū)＜姨岢鰷?zhǔn)確的問(wèn)題，他當(dāng)天反復(fù)檢驗(yàn)整理自己的工作，直到雞鳴月落。寂靜總是伴隨著夜晚，但靈感也往往隨之生發(fā)出來(lái)。他突然意識(shí)到他不需要推廣完整的證明，而只需要直接從田剛的結(jié)果出發(fā)，再用結(jié)果去證明加強(qiáng)的版本就行。些微的倦意瞬間被驅(qū)散，激動(dòng)得難以自持的他立刻開(kāi)始反復(fù)檢查自己的思路是否正確。在激情燃燒的工作中，周?chē)囊磺兴坪醵嫉チ?，初升的太?yáng)溫暖著他，十年寒窗的辛勤探索在這一刻都變得意義非凡。陽(yáng)光融化了曾經(jīng)的困惑，給他留下了純粹的擁有數(shù)學(xué)的幸福。
那一次深夜里的突破看似在一瞬之間，實(shí)際卻是多年知識(shí)累積和日夜思索的結(jié)果。從學(xué)生向研究者的轉(zhuǎn)變也自然而然地完成了。在本科時(shí)代就藏在袁新意心底的疑問(wèn)現(xiàn)在終于有了答案。
三、向“最迷人的問(wèn)題”前進(jìn)
隨著知識(shí)和技術(shù)的積累，袁新意渴望向更深刻的數(shù)論問(wèn)題前進(jìn)。數(shù)論中有很多迷人的問(wèn)題，而最吸引他的則是BSD猜想。
BSD猜想可以被粗略地描述為建立橢圓曲線(xiàn)E的有理點(diǎn)集形成的有限生成Abel群的算數(shù)信息和與之相對(duì)應(yīng)的Hasse-Weil L-函數(shù)L(E,s)在s=1的泰勒展開(kāi)式的分析信息之間的聯(lián)系。這是一個(gè)關(guān)于橢圓曲線(xiàn)上有理點(diǎn)結(jié)構(gòu)刻畫(huà)的深刻猜想，同時(shí)也被克雷數(shù)學(xué)研究所列為千禧年七大數(shù)學(xué)問(wèn)題之一。數(shù)學(xué)家為了解決這個(gè)猜想發(fā)明了大量的數(shù)學(xué)工具，而Gross-Zagier公式就是目前推進(jìn)BSD猜想證明的最有力工具之一。在上世紀(jì)50年代，Heegner通過(guò)超越方法得到了橢圓曲線(xiàn)上的一個(gè)有理點(diǎn)(即對(duì)應(yīng)的方程的一個(gè)有理解)，但是超越方法得到的這個(gè)解有著復(fù)雜的冪級(jí)數(shù)的形式，雖然它被證明收斂到了有理數(shù)，因而確實(shí)是一個(gè)有理點(diǎn)，但我們甚至不知道它是否只是平凡的撓解。Gross-Zagier公式就是通過(guò)利用L函數(shù)來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)解是否平凡的工具，因?yàn)樗卜从沉薒函數(shù)與解的信息之間的關(guān)系，所以和BSD猜想有著很直接的聯(lián)系。這種聯(lián)系很快被數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在上世紀(jì)80-90年代，數(shù)學(xué)家利用Gross-Zagier公式解決了階數(shù)為0和1的BSD猜想。
袁新意老師2018年在加州大學(xué)伯克利分校上課
袁新意對(duì)BSD猜想的熱情來(lái)自本科時(shí)閱讀的一本橢圓曲線(xiàn)的英文教材。當(dāng)時(shí)的他還不太理解這個(gè)猜想的描述，但他已經(jīng)暗暗地希望自己可以為這個(gè)猜想的解決做出貢獻(xiàn)?？梢詫?shí)現(xiàn)青年時(shí)期夢(mèng)想的人總是幸運(yùn)得讓人嫉妒，博士學(xué)位問(wèn)題攻克后，他的技術(shù)能力和知識(shí)水平已經(jīng)可以讓他嘗試挑戰(zhàn)這個(gè)猜想了。更加幸運(yùn)的是，他的導(dǎo)師張壽武老師除了Arakelov幾何之外，也是Gross-Zagier公式領(lǐng)域的專(zhuān)家。于是他便轉(zhuǎn)換興趣，開(kāi)始學(xué)習(xí)Gross-Zagier公式的相關(guān)應(yīng)用和推廣。恰好他本科和研究生的同學(xué)，后來(lái)也成長(zhǎng)為“黃金一代”的代表數(shù)學(xué)家張偉此時(shí)也在張壽武門(mén)下學(xué)習(xí)Gross-Zagier公式。于是研究的過(guò)程一如美好的昨日，“記得在哥大討論班結(jié)束后我們從樓里出來(lái)，頭頂是夜空清冷的月光，那種感覺(jué)，就跟本科時(shí)討論班結(jié)束后我們深夜回宿舍時(shí)的感覺(jué)一樣。”他和張壽武，張偉合作，證明了Gross-Zagier公式相關(guān)的一系列重要結(jié)果。
袁新意的另一個(gè)重要成果是和張壽武合作，證明了Colmez猜想的平均形式。“實(shí)際上另一組數(shù)學(xué)家Andreatta—Goren—Howard—Madapusi-Pera也獨(dú)立地證明了這個(gè)猜想。”采訪(fǎng)中，袁新意笑著補(bǔ)充。這個(gè)公式是關(guān)于帶復(fù)乘的阿貝爾簇的Faltings高度的計(jì)算。猜想的原始版本過(guò)于困難，但是經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，可以把一些相關(guān)的項(xiàng)的Faltings高度加起來(lái)做一個(gè)平均，而這些相關(guān)的項(xiàng)是被同一個(gè)域所復(fù)乘的，這個(gè)平均值的計(jì)算就會(huì)容易很多。“我們?cè)?008至2009年已經(jīng)在這個(gè)問(wèn)題上有所突破，完成了部分證明。不過(guò)當(dāng)時(shí)沒(méi)有看到這個(gè)平均Colmez猜想的應(yīng)用，所以后半部分的證明就被擱置了。”后來(lái)到了2014至2015年，加拿大青年數(shù)學(xué)家Tsimerman在前人工作的基礎(chǔ)上嘗試證明另一個(gè)數(shù)論中的重要猜想：志村簇的André–Oort猜想，他的證明依賴(lài)于平均Colmez猜想。于是意識(shí)到這個(gè)定理具有重要應(yīng)用的袁新意和張壽武再次合作，最終完成了全部的證明。
此外，袁新意還獨(dú)立證明了全實(shí)域上的志村(Shimura)曲線(xiàn)的高度公式。志村曲線(xiàn)是模曲線(xiàn)的一種推廣，它們都是一維的志村簇。志村曲線(xiàn)的高度被定義為一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)可以衡量曲線(xiàn)在算術(shù)范圍內(nèi)的復(fù)雜度。袁新意最終證明了志村曲線(xiàn)的高度可以表達(dá)為戴德金zeta函數(shù)在s=2處的導(dǎo)數(shù)，其中戴德金zeta函數(shù)是大家所熟知的黎曼zeta函數(shù)將有理數(shù)域換成代數(shù)數(shù)域得到的。這一工作推廣了之前Kulda—Rapport—Yang在有理數(shù)域的志村簇上的公式，可以視為經(jīng)典的Kronecker極限公式在現(xiàn)代算術(shù)幾何里的延伸。
四、未來(lái)探求：從精密結(jié)構(gòu)到新的理論
袁新意的一系列工作得到了國(guó)際同行的廣泛認(rèn)可，文章多次發(fā)表在數(shù)學(xué)界最頂尖的期刊(如Annals of Mathematics，Inventiones mathematicae)上。這是令很多數(shù)學(xué)家艷羨的成就，但對(duì)他來(lái)說(shuō)，更讓人興奮的是這一系列工作背后的精密結(jié)構(gòu)。上面提到的三個(gè)工作的證明可以被同一框架所概括：幾何對(duì)象的高度(算術(shù)信息)可以用L函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(分析信息)來(lái)表達(dá)。在他和張壽武、張偉合作進(jìn)行Gross-Zagier公式的推廣時(shí)，他開(kāi)始逐步意識(shí)到這一點(diǎn)。而后在證明平均Colmez猜想和志村曲線(xiàn)的高度公式時(shí)，二者的關(guān)系則展現(xiàn)得更加完善。當(dāng)他們考慮比較兩組生成函數(shù)形成的模形式，其中一組描述志村曲線(xiàn)的點(diǎn)的算術(shù)相交數(shù)(即高度)，反應(yīng)幾何對(duì)象的算術(shù)信息;另一組描述愛(ài)森斯坦級(jí)數(shù)的求導(dǎo)，給出了分析信息。這兩組模形式作為冪級(jí)數(shù)會(huì)在很深刻的意義上表現(xiàn)出“幾乎相等”的性質(zhì)。比如取出兩邊在重要性意義下的主項(xiàng)，比較它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，這些對(duì)應(yīng)項(xiàng)的相等性質(zhì)(在不考慮余項(xiàng)的情形下)就會(huì)給出Gross-Zagier公式;而兩邊退化的對(duì)應(yīng)項(xiàng)會(huì)給出平均Colmez猜想;另外高度退化的對(duì)應(yīng)項(xiàng)會(huì)給出志村曲線(xiàn)的高度公式。這種結(jié)構(gòu)性的深刻聯(lián)系帶來(lái)了很多數(shù)論中的公式和猜想，雖然它還沒(méi)有被很明確地認(rèn)識(shí)，但這種求之不得的美可能也是令袁新意沉醉其中的魅力所在。
數(shù)學(xué)中心院落外景
袁新意在Arakelov幾何和Gross-Zagier公式相關(guān)領(lǐng)域都取得了不凡的成績(jī)，但他并不滿(mǎn)足，“我最關(guān)心的BSD猜想，現(xiàn)有的方法還是遇到了瓶頸。”如前所述，BSD猜想階數(shù)0和階數(shù)1的情形已經(jīng)被較好地解決，但是對(duì)更高階數(shù)的BSD猜想，現(xiàn)在幾乎沒(méi)有任何好的想法。于是袁新意渴望建立新的數(shù)學(xué)理論，雖然從數(shù)學(xué)的發(fā)展程度來(lái)看，目前BSD猜想還遠(yuǎn)未到被徹底證明的時(shí)機(jī)，但一方面出于自己的性格，他不太熱衷于跟著別人的想法;另一方面Gross-Zagier公式雖然還有非常廣泛而美妙的問(wèn)題等待探索，但面對(duì)高階BSD猜想已經(jīng)比較吃力。
尾聲
如同數(shù)學(xué)史上常常發(fā)生的那樣，在數(shù)學(xué)工具因發(fā)展完善而慢慢放緩前進(jìn)的步伐之時(shí)，新的數(shù)學(xué)也在呼之欲出。懷著對(duì)全新數(shù)學(xué)的期待，袁新意再次回到了曾經(jīng)無(wú)比熟悉的燕園。在美國(guó)頂尖高校豐富的任教與研究的經(jīng)歷讓他有很深的觀察：哈佛、普林斯頓、伯克利等美國(guó)頂尖高校由于長(zhǎng)期以來(lái)積累的學(xué)科優(yōu)勢(shì)，以及一些文化或制度方面的原因，師生都比較放松、自信，這種氛圍對(duì)做研究來(lái)說(shuō)是非常有利的，國(guó)內(nèi)高校在這方面仍然存在差距。“但我們也在迎頭趕上，國(guó)外頂尖高校的數(shù)學(xué)系規(guī)模普遍較小，而北大這邊，新近眾多高手的加盟讓這里有了更多相互交流的可能性，在數(shù)論的研究方面逐步形成了某種規(guī)模優(yōu)勢(shì)。數(shù)論的各個(gè)分支的專(zhuān)家就在隔壁辦公室，只需要敲個(gè)門(mén)便可以交流討論。”袁新意對(duì)發(fā)展自己的全新數(shù)學(xué)充滿(mǎn)了期待。
通過(guò)一系列定理的證明，籠罩在算術(shù)與分析橋梁上的細(xì)密網(wǎng)格已經(jīng)羅織起來(lái)，而能否通過(guò)新的理論框架將整張大網(wǎng)一舉提起呢?讓我們靜靜地等待吧，袁新意所追求的新的數(shù)學(xué)，也許就會(huì)像燕園冬日的飛雪一樣，在一個(gè)寂靜的夜晚悄無(wú)聲息地在他身旁飄落，等待著他輕輕捧起。
采訪(fǎng)、撰文 | 季策
來(lái)源：北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心BICMR
編輯：羅凱
初審：汪秀兵
終審：陳忠新